苦行说:我的数学专业学习之旅

作者,MathRoc,哆嗒数学网群友

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求学是苦行之旅,需要去征服一座又一座崇山峻岭。幸运的是我征服了第一段矮坡,在此我想分享自己的学习历程。“学说”一题极为宏大,学浅才疏使我力有不逮,故此写下这篇不甚成熟的“苦行说”,望大家多指点。

诗人林珊在《山行》中写道:“我还是去得晚了一些‖满山的黄叶已经落尽了‖只有风,从山顶袭来‖枯草里的星辰是什么时候撒下的‖瓦楞上的残雪是什么时候落下的‖香山寺的钟声也无法给予我‖想要的答案”。或许这正是我本科四年的学习生活的真实写照。

当我初踏入大学校园时,草平雨新路无尘,一切都是可爱的模样。但入学后我发现自己与数学系的学生之间有很大的差距。他们或是在高中便已学完大一、大二的内容,或是在竞赛中取得了很好的成绩,少数则在初中时便学习了大学内容,一言以蔽之,有深厚的数学基础和非凡的学习能力。当时的我想迅速追赶,但竭尽所能也难以望其项背,从此便进入了漫长的迷茫期。

起初未接触数学系的同学,自然不知道需要在何阶段读何书,我便试图同时看多门课的入门书。尽管举步维艰,我仍在坚持,去教室的路上、吃饭时、睡前,无时不在看书。我仍以高中形成的观念来看待“怎样才算学会了”——题目可以不费力地独立解决,也曾四本书并进,正文能懂但对题目畏葸不前,就此断定是因太笨没学会。于是换书来啃,一个月内如此往续,应有10本以上,比如数学分析、高等代数、解析几何、概率论、组合数学、图论、近世代数、实分析。现在看来,所选的书是最难的那一批,所做的皆为无用功。

经此一役,我向很厉害的学弟请教,他指出我应该先读大一内容——数分、高代,并分别推荐了史济怀、李炯生(号称亚洲最难)的教材。诚然,对已有基础或学习能力强的人来说,它们确是非常不错的入门教材。但对当时基础千疮百孔的我而言,这无疑是一剂虎狼猛药。

我再次被习题拦在了门外,但也开始主动寻找“没学明白”的症结所在。我发现,对教材难度预设的太高,我应该选择更合适的书。自此,踏上了寻找适合自己的书籍的漫长历程。

迷茫时期持续了近两年,为此付出的代价也是不小的。此间我为转数学系辗转奔波过,比如咨询教务处老师、给校长信箱写信以期有一次转专业考核的机会。转专业政策是只看原专业的排名,或有省级以上的竞赛证书等的证明,因此所有努力是徒劳的。在朋友的劝慰下我走出了这段晦暗的时期,继续踏上那条前路似无光的寻书之旅。奇迹的是,我此后竟未被生活击倒过。

在大二、大三时专业基础课愈来愈多,留给自学的时间也日渐递减。我选择将更多的精力投入到自学中,自然而然挂了好几科。然而,与此同时我走出了迷茫期和寻书之旅,并确定了当时喜欢的方向——概率论。我用了几个月的时间初学了一些书籍,如王梓坤《概率论基础及其应用》、Durrett的概率论、JunShao的数理统计和Ross的随机过程。

后来在阅读了潘承洞先生的《阶的估计基础》后,我发现更喜欢的是一直在被偏废的渐近分析。我是足够幸运的,因为我能比一些朋友更早知道自己的兴趣爱好;我也应该省思,因为这一过程耗费了本应绽放的青春。

大三下、大四上开始为考研准备,但择校成为了最大的问题。我的兴趣尚算广泛,准确来说很偏(渐近分析、特殊函数、解析数论),含解析数论方向的学校大多考研难度大,而含前两者的学校几乎没有,所以备选的学校很少。在一番衡量后我选择解析数论方向,正当满心欢喜地备考时,专业课来了。在大一到大三上,我们都在学习专业基础课,大三下开始才学习真正的专业课。这对我来说,无疑是极大的考验。

当我全部通过以后,迷茫期的代价姗姗来迟——机械制图与机械设计是对我而言最难的两门课,它们需要重修,此时距考研初试只有一月余。经过一番思想斗争,我决定放弃考研,并竭我所能通过它们,最终如愿以偿。

如果用一个词概括大学生活,我选择“俯拾仰取”,即一举一动都有收获。在社团活动中,我负责心理协会的公众号运营与青年报的评论撰写,这些活动让我明白了什么是“因热爱而坚持”;在网络平台上,我学会了写博客和运营自己的数学公众号,我从中体会到了什么是“因坚持而热爱”。我的大学生活是云层下的折光,指引着我走向成熟,我将永志不忘这四年时光。

等毕业后,也就是去年,我全身心地投入考研,现在已被志愿高校拟录取。不太恰当地说,“细思皆幸矣,下此便翛然”。当然,不取“老”之意。

学习历程皆陈于此,接下来我想聊聊网络数学竞赛。

第一次接触它是在参加Xionger网络数学竞赛(下称:熊赛),值得一提的是熊赛自其诞生就广受关注与好评,但唯一的败笔是近几年的分数和最终排名未能公布。我参加的是第二届,当时高手如云,题目值得玩味,而后一届题目数量翻倍,加之熊哥平时很忙、供题人集不全,赛后题目便改不完了。我只参加了一届熊赛,此后没有参加网络竞赛与各种线下竞赛。但我举办过两届团子杯网络数学竞赛,也为熊赛和八一杯数学竞赛供过题。当然,Binger杯数学竞赛也没落下,但是举办者处于半退网状态,第二届也便没举办起来。

在我看来,网络数学竞赛应是一场盛筵,智者得以提升,慧者得以洞悉,而平庸者如我得以开阔眼界、培养文献检索能力以及与更多人交流。

谈谈我的经验吧!起初我在各种习题书中寻找偏难怪的题目,但转念一想,网络竞赛不是要选拔人才,也不是真正的竞赛,而是出题人与答题者互相学习交流的一次绝佳的机会。于是我转向寻找趣味性、普适性的问题。为熊赛和八一杯提供的是难题,自然无人答出,此后我多次反思,决定降低难度、仍保持普适趣味性但架构纸老虎——能用简单知识解决的难题,这一次又给八一杯献上两题,后来发现每题都有人给出正确解答,甚至给出了新解法。

我在大二时开始运营数学公众号。起初用AxMath来编写公式再生成图片上传平台,但这样会使排版很乱。接下来我学用LaTeX,将编译出的文件截图再上传,这一阶段收获颇丰。后来我发现之前的文章美观与简陋并存,一狠心便注销了公众号,然后重新注册,用mdnice网页的粘贴功能开始了美观之旅。

我编写过《阶的估计基础》习题解答,此过程可谓“大胆假设,小心求证”。想我所敢想,但也向诸多朋友、学长请教,以保证解答的严谨性。

网络上数学的小圈子里常称彼此为“数学人”。那么,究竟怎样才算一个合格的“数学人”呢?在我看来,这与“数学”和“人”密不可分。我们不仅仅需要“数学品位”和“数学钻研”,更需要向人请教和适当的人际交往。

苦行说:我的数学专业学习之旅

请允许我讲一些关于学习的粗浅的见解:

  1. 不忘初心 或许忘掉了不少曾学过的理化生知识,但我时刻不敢忘初心。我是一个愚笨的人,没有数学天赋,对数学是喜欢但谈不上热爱。且听我言,一位好朋友的室友本科在北大医学系读书,后来拿到了医、数双学位,目前是基础数学的在读硕士。与他相比,我面前的高山只算缓坡。每个人的路应由自己走,学习也应是自己的事。莫论他人是如何渡过困厄的,就个人而言,走出迷茫和困厄的最好的办法便是不忘初心。

2. 保持热情 我也曾懈怠,但这只会使我胸无点墨。以我为例,我的热情之火被屡次碰壁的经历所磨灭,由是学习效率低下,只能用比别人更多的时间来弥补学习上的亏空,这也让曾经的我信心大减。即使面临窘境,也请务必保持热情,请相信我的诗中写的“我的肩上落有闪着青光的萤火,它能带来满天的星光,映衬着天上的云雨声、海上的风涛声”。

3. 广交诤友 我很幸运地交到了一群诤友,但为此也很惭愧,因为他们给予了太多的帮助而我帮不上他们。在我失落时,他们会安慰我;在我不知道如何进一步学习时,他们给予中肯而详尽的建议。人生之途漫漫,一定孤独,但有了诤友,未来不会再黯淡,至少它能开出苦涩的花,不是吗?

4. 莫羡他人 准确地说,不要只羡慕他人的成功,不要总攀比。这些年我见到了很多不良的学习风气,比如“膜”“卖弱”,意即不论别人如何都去膜拜、不论如何都说自己水平很低;再如“如何评价”,意即如下的现象:常问如何评价某人才大二就这么厉害,每年都问如何评价期末考试题目这么难等等。这些既不利于学习,也不利于生活。学习是一条崎岖蜿蜒的山路,你既需要攀登,也需要抵制崖间的花香诱惑。

苦行之旅,应旷达随性。席慕蓉在《诗的旷野》里写道:“文字并非全部‖生活也不是 我们其实‖不需要逼迫自己‖去证明这一生的意义和价值‖在诗的旷野里‖不求依附 不去投靠‖如一匹离群的野马独自行走‖其实 也并非一无所有‖有游荡的云 有玩耍的风‖有潺潺而过的溪流‖诗 就是来自旷野的呼唤‖是生命摆脱了一切束缚之后的‖自由和圆满”。

苦行之旅,应常省思。我现在能独立地发现学习中暴露出的一些问题,比如自卑、易懈怠。我为自己开了一剂良方“悟学知心,斩棘披荆”,要不断地了解自己,要有迎难而上的决心。当我上下求索时,收获或许很少但成长很快,我有勇气也有信心去迈向未来。

一篇浅薄但不短的《苦行说》致我,也献给求学的你。

起初未接触数学系的同学,自然不知道需要在何阶段读何书,我便试图同时看多门课的入门书。尽管举步维艰,我仍在坚持,去教室的路上、吃饭时、睡前,无时不在看书。我仍以高中形成的观念来看待“怎样才算学会了”——题目可以不费力地独立解决,也曾四本书并进,正文能懂但对题目畏葸不前,就此断定是因太笨没学会。于是换书来啃,一个月内如此往续,应有10本以上,比如数学分析、高等代数、解析几何、概率论、组合数学、图论、近世代数、实分析。现在看来,所选的书是最难的那一批,所做的皆为无用功。

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